ANTI TURUNAN (Integral Tak-tentu)
Anti pendiferensialan (anti penurunan) adalah kebalikan dari pendiferensialan (penurunan).
Definisi:
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’ (x) = f(x) untuk semua xdalm I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’ (x) hanya perlu berupa turunan satu sisi ).
NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN
karena kita telah memakai lambing Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi,
Ax (x2) = 1/3x3 + C
Ini adalah notasi yang di gunakan oleh beberapa penulis, dan memang dipakai dalam buku ini npada terbitan-terbitan yang sebelumnya. TEtapi, notasi lenbniz yang semula semakin lama makin popular, karenanya kita memilih untuk mengikutinya. Ketimbang… leinbniz menggunakan … dx lambang ia menuliskan
∫ x2 dx = 1/3x3 + C
Leibniz mempunyai alasan untuk pemakaian memanjang S, ∫ dan juga dx tetapi alasan ini belum masuk akal sampai nanti untuk saat ini, cukup bayangkan ∫….dx sebagai menunjukan anti turunan terhadap x, sama seperti halnya memnunjukan turunan terhadap x, perhatikan bahwa Dx ∫ f(x) dx = f(x)
Teorema A:
(Aturan Pangkat) jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali – 1, maka ;
∫ xr dx = xr+1 + C
r + 1
Teorema B
∫ sin x dx = - cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
Bukti ringkasnya, ingat bahwa Dx (-cos x ) = sin x dan Dx (sin x ) = cos x
Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cara penulisan (notasi). dengan mengikuti Leinbniz, kita sering kali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambing….. disebut tanda integral dan… disebutintegran. Jadi, kitya mengintegralkan integrand an karena itu menadapatkan integral atk taentu. Kemungkinan Leinbniz memakai kata sifat tak tentu sebagai pengingat bahwa integral tek tentu selalu mencakup sebarang konstanta.
INTERGAL TAK-TENTU ADALAH LINEAR
bahwa Dx adalah suatu operator linear. Ini berarti dua hal.
1. Dx [ k f(x) ] = k Dx f(x)
2. Dx [ f(x) + G(x) ]= Dx f(x) + Dx g(x)
Dari dua sifat ini, sifat ketiga mengikuti secara otomatis.
3. Dx [ f(x) – g(x) ] = Dx f(x) – Dx g( x)
Apa yang benar untuk anti turunan adalah benar juga untuk integral tak tentu (anti turunan).
Teorema C
(Kelinearan dari ∫ ….dx ). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan ( integral tak tentu ) dan andaikan k suatu konstanta maka:
∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?
∫ [ f(x) – g(x) ] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
Teorema D
( Aturan Pangkat yang diperumum ) Andaikan g suatu fungsi yng dapat diferensialkan dan r suatu bilanagan rasional yang bukan – 1 maka
∫ [ g(x) ] r g’(x) dx = [ g(x) ] r+1 + C
PENGANTAR UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
dalam pasal sebelumnya, tugas kita adalah mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f Untuk memperoleh suatu fungsi baru F kita tuliskan;
∫ f(x) dx = F (x) + C
Dan ini adalah benar, asalkan F’(x) = f(x) Dalam bahasa diferensial ( F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx sehingga kita dapat memandang rumus dalam kotak sebagai
∫ dF(x) = F(x) + C
Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperolaeh fungsi tersebut (tambah suatu konstanta). Ini adalah seni pandangan Lenbniz; dengan memnerimanya akan sangat membantu kita dalam pasal ini.
CONTOH DAN PENYELESAIAN
1. cari anti turunan F(x) + c, yang umum dari f(x)= 9000x2 + 2000x + 1.000.000
jawab: ∫ f(x)dx = (9000x2 + 2000x + 1.000.000)dx
= 3000x3 + 1000x2 + 1.000.000x + C
2. Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (3x + 4x2)/y2. Kemudian cari bilamana x = 0 nilai y = 5.
Penyelesaian :
Persamaan tersebut setara dengan y2dy = (3x + 4x2) dx.
Jadi, ∫ y2dy = ∫ (3x + 4x2) dx
y3/3 + C1 = 3/2x2 + 4/3x3 + C2
y3 = 9/2x2 + 4x3 + (3C2 – 3C1)
y3 = 9/2x2 + 4x3 + C
y = 3√9/2x2 + 4x3 + C
Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat y = 5 bilamana x = 0.
Ini memberikan 5 = 3√C
125 = C
Jadi, y = 3√9/2x2 + 4x3 + 125
3. Cari ∫ (5x + 10)23 dx
Penyelesaian :
Misalkan u = 5x + 10, maka du/dx = 5 atau dx = 1/5 du.
Substitusi 5x + 10 = u dan dx = 1/5 du, maka ∫ (5x + 10)23 dx dapat diubah menjadi ∫ u23 (1/5 du) = 1/5 ∫ u23 du
1/5 ∫ u23 du = 1/5 (1/24 u24) + C
= 1/120 u24 + C
= 1/120 (5x + 10)24 + C
Jadi, ∫ (5x + 10)23 dx = 1/120 (5x + 10)24 + C
4. Cari ∫(x + 1/x)2 dx
Penyelesaian:
∫(x + 1/x)2 dx = ∫ (x2 + 2 + 1/x2)dx
= ∫ x2dx + ∫2dx + ∫ x-2dx
= 1/3 x3 + 2x + (1/-2+1)x-2+1 +C
= 1/3 x3 + 2x + 1/x +C
jadi, ∫(x + 1/x)2 dx = 1/3 x3 + 2x + 1/x +C
5. Cari ∫6 sin7x dx
Penyelesaian :
Andaikan g(x) = sin x; maka g’(x) = cos x.
Jadi, ∫ 6 sin7x cos x dx = 6 ∫ sin7x cos x dx
= 6 ∫ [g(x)]7 g’(x) dx
= 6 {[g(x)8}/8 + C
= 6/8 sin8x + C
= ¾ sin8x + C
Minggu, 22 Maret 2009
PENGUNAAN TURUNAN
4.1 Titik Ekstrim, Titik Belok, Asimtot, dan Grafik Fungsi
Ekstirm Mutlak dan Ekstrim Lokal kita mulai pasal ini dengan mendefinisikan ekstrim mutlak dan ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diketahui pada suatu selang.
Definisi 4.1 Misalkan fungsi f kontinu pada selang I yang memuat titik c.
• Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai maksimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.
• Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di c jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai mimimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik mimimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.
• Fungsi f dikatakan mencapi maksimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai maksimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f pada selang I.
• Fungsi f dikatakan mencapi minimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai minimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f pada selang I.
Catatan: maksimum dan minimum daru suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.
Turunan di Titik Ekstrim Lokal
Pada suatu fungsi yang terdeferensialkan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol. Berikut ini adalah teorema tentang turunan di titik ekstrim lokal beserta pembuktiannya.
Contoh
tentukan titik kritis dari f(x)=2x2 + 4x ; pada selang tertutup I = [-2,1]
jawab: f'(x)=0
f'(x) = 4x + 4 = 0
x = 1
berarti titi kritisnya yaitu:
[-2, 1,]
Teorema 4.2 Turunan di titik ekstrim lokal
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapai ekstrim lokal di c dan fungsi f terdiferensialkan di c, maka f’(c) = 0.
Bukti: kita buktikan untuk kasus maksimum lokal saja, kasus minimum lokal serupa. Karena fungsi f mencapai maksimum lokal di c, maka di sekitar c belkau F(c) ≥ f(x), sehingga f(x) – f(c) ≤ 0. Karena fungsi f terdiferensialkan di c, maka kita mempunyai
f’(c) = f-‘(c) = QUOTE dan f’(c) = f+‘(c) = QUOTE .
ini mengakibatkan f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0, sehingga kesimpulannya f’(c) = 0.
Catatan: Kebalikan Teorema 1.2 tidak benar lain, cntoh penyangkalan adalah fungsi f(x) = x3. Di sini berlaku f’(0) = 0 tetapi fungsi f tidak mencapi ekstrim di 0.
Contoh
kapan fungsi f(x) = 4x – x2 naik dan turun
jawab: fungsi itu turun ketika f'(x) <>
4 – 2x <>
x > 2
fungsi itu naik ketika f'(x) > 0
4 – 2x > 0
x <2
Cara Mencari Ekstrim Ekstrim Mutlak pada Selang Tertutup
Salah satu fungsi kontinu mengatakan bahwa jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka fungsi f terbatas pada [a,b] (Teorema 2.16). batas atas terkecilnya adalah QUOTE f(x) dan batas bawah terbesarnya QUOTE f(x). kedua batas ini meenjadi nilai maksimum dan minimum mutlak dari fungsi f pada selang tertutup [a,b], yang ditentukan dengan cara berikut.
• Tentukan semua titik kritis dari fungsi f pada selang tertutup [a,b] beserta nilai fungsinya, termasuk kedua titik ujung selangnya.
• Bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi maksimum mutlaknya, dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlaknya.
Contoh :
Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f(x) 3x4 – 4x3 , -1 ≤ x ≤ 2.
Jawab: Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah
f’(x) = 12x3 – 12x2 = 12x2(x – 1)
sehingga titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0 dan di titik ujung selangnya. Ini mengakibatkan titik kritis dari fungsi f tercapai di
x = 0, x = 1, x = -1, dan x = 2
dengan
f(0) = 0, f(1) = -1, f(-1) = 7, dan f(2) = 16
dari keempat nilai fungsi ini, yang terbesar adalah f(2) = 16 dan yang terkecil f(1) = -1. Jadi nilai maksimum mutlak dari fungsi f adalah 16, yang tercapai di x = 2, dan nilai minimum mutlaknya -1, yang tercapai di x = 1.
Uji Turunan Pertama untuk Kemotonan Fungsi
Perhatikan fungsi f(x) = x2, yang monoton turun pada selang (-∞,0) karena x < 0 =""> x2 > 0, dan monoton naik pada selang (0, ∞) karena x > 0 => f(x) = x2 > 0. Turunan pertama dari fungsi f adalah f’(x) = 2x, sehingga kita mempunyai fenomena bahwa fungsi f monoton turun bila f’(x) <> 0. Fenomena ini sejalan dengan arti geometri turunan sebagai gradien garis singgung pada kurva. Ternyata bahwa fenomena ini berlaku untuk setiap fungsi f yang terdiferensialkan, yang teoremanya sebagai berikut.
Teorema 4.3 (Uji turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang I. jika f’(x) > 0 pada selang I, maka fungsi f monoton naik pada I dan jika f’(x) <>
Bukti: kita buktikan teorema yang pertama saja, yang kedua dibuktikan serupa. Disini kita harus membuktkan fungsi f monoton naik pada I dengan cara memperlihatkan jika u, v pada I dengan u <>
Karena fungsi f terdiferensialkan pada selang I yang memuat selang [u,v], maka menurt TNR terdapat suatu c ª (u,v) sehingga
Pada bentuk ini diketahi f’(c) > 0 dan v - u > 0, yang mengakibatkan f(u) – f(v) > 0. Dari sini diperoleh f(u) <>
Uji turunan pertama untuk menentukan lokasi ekstrim lokal
Dari selang kemonotoan suatu fungsi kontinu dapat ditentukan lokasi ekstrim lokalnya berdasarkan perubahan kemonotonan fungsinya. Perubahan kemonotonan di sekitar titik kritis dari fungsinya dapat ditentukan dengan perubahan tanda dari turunan pertamanya di sekitar titik kritis tersebut. Di sekitar titik ktitis tersebut, perubahan dari monotonnaik ke monoton turun menghasilkan minimum lokal. Lokasi ekstrim lokal diberikan dalam teorema berikut.
Contoh :
cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x)=9x2 – 36x pada (-∞,∞)
jawab:
karena pada selang terbuka (-∞,∞)
maka satu – satunya titik kritis diperoleh dari
f'(x) = 0
18x – 36 = 0
x = 2
maka
f(2) = 9(2)2 -36(2) = -36
Teorema 4.4 (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuak I yang memuat titik kritis c.
• Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) > 0 pada selang (c – r, c) I dan f’(x) <> I, maka fungsi f mencapi maksimum lokal di c.
• Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) <> I dan f’(x) > 0 ada selang (c,c + r) I, maka fungsi f mencapi minimum lokal di c.
4.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Ekstrim lokal beserta jenisnya dari suatu fungsi dapt juaga ditentuka dengan memeriksa tanda turunan kedua di titik kritisnya, teoremanya sebagai berikut.
x = √12
Teorema 4.5 (Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c.
• Jika f’(c) = 0 dan f” (c) <>
• Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di c.
Bukti Kita buktikan yang pertama saja, yang kedua dikerjakan serupa. Dar definisi turunan kedau fungsi f di c dengan menginngat bahwa f’(c) = 0 dan f”(c) <>
Akibatnya, disekitar titik c berlaku, yang menghasilkan
x < c =""> x – c < 0 =""> f’(x) > 0 dan x > c => x – c > 0 => f’(x) <>
Berdasarkan teorema 4.4 (uji turunan untuk ekstrim lokal), fungsi f mencapi maksimaum lokal di c, dan terbuktilah yang diinginkan
4.1.2 Lokasi titik belok
Definisi 4.6
Fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I dikatakan
• Cekung ke atas pada selang I jika fungsi f’ monoton naik pada I,
• Cekung ke bawah pada selang I jika fungsi f’ monoton turun pada I.
Uji turunan kedau untuk kecekungan fungsi
Karena kemonotonan fungsi dapat dikaitkan dengan tanda dari turunan pertamanya, maka kecekungan suatu fungsi pada selang terbuka dapat ditentukan dari tanda turunan keduanya, teoremanya sebagai berikut:
Teorema 4.7 (Uji kedua untuk kecekungan fungsi)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka I. jika f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f cekung ke atas pada I, dan jika f”(x) <>
Bukti:
Karena f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f’ monoton naik pada I. berdasarka n dengan definisi 4.6 tentang kecekungan, kondisi ini mengakibatkan fungsi f cekung ke atas pada I. Karena f”(x) <>
Turunan kedau di titik belok
Jika fungsi mempunyai turunan kedua dititik belok, maka nilai turunan keduanya selalu nol. Berikut ini adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.
Teorema 4.8
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapi titik belok di c, dan f”(c) ada, maka f”(c) = 0.
Bukti: karena fungsi f mencapai titik belok di c, maka besar x = c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f. ini berarti bahwa di sekitar x = c terjadi perubahan kemonotonan dari f’, sehingga ekstrim lokal dari f’ tercapaidi x = c. dari sifat turunan ekstrim lokal, langsung diperoleh f”(c) = (f’)’ = 0, dan terbuktilah yang diinginkan.
Turunan ketiga di titik belok
Dari konsep titik belok dan teorema 4.8 kita mempunyai sifat bahwa jika f” (c) = 0 dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan fungsi f, maka fungsi f mencapi titik belok di x = c. syarat terdapatnya perubahan kecekungan dari f disekitar c dapat diganti oleh f”’ (c), asalkan fungsi f mempunyai turubab kedua di sekitar c. berikut adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.
Teorema 4.9
Misalkan fungsi f mempunyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat c dan f”’ (c) ada. Jika f”(c) 0 dan f”’(c) ≠ 0, maka fungsi f mencapi titik belok di c.
Bukti: Karena f”(c) = 0, maka fungsi f mempunyai garis singgung di di x = c. dari definisi turunan ketiga di c dengan mengingat f”(c) = di peroleh
Berdasarkan sifat nilai fungsi, kita mempunyai QUOTE pada selang (c - r, c + r) I untuk suatu r > 0. Akibatnya, QUOTE x Є (c – r, c + r) I berlaku
QUOTE , atau QUOTE
Untuk kemungkinan pertam, x < c =""> x – c < 0 =""> f” (x) < 0 =""> f cekung ke bawah dab x > c => x – c > 0 => f”(c) > 0 => f cekung ke atas. Jadi kecekungan fungsi f berubah di sekkitar c. dengan cara yang sama, kemungkina kedau juga mengahasilkab perubahan kecekungan di sekitar c. karena itu fungsi f mencapai titik belok di c, dan terbuktilah yang diinginkan
Grafik suatu fungsi dapat digambarkan berdasarkan informasi tentang selang kemonotonannya, semua titik ekstrim beserta jenisnya, selang kecekungan, semua titik belok, semua asimtot, dan beberapa titik yang diperlukan.
Contoh 4.19 diketahui fungsi QUOTE .
Tentukan selang kemonotonan, semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya, selang kecekungan, dan semua asimtot fungsi f.
Jawab: fungsi f terdefinisi pada R – {0} dan dapat di tulis dalam bentuk
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f adalah
Titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0, yang menghasilkan x =-1 dan x =1, dengan f(-1)=0 dan f(1) = 4. Titik kritis dari fungsi f’ tidak ada karena fungsi f tidak terdefinisi di x = 0.
Kesimpulan:
• Fungsi f monoton naik pada selang (-∞, -1) dan pada selang (1,∞); monoton turun pada selang (-1,0), dan pada selang (0,1).
• Fungsi f mencapai maksimum lokal di c = -1 dengan f(-1) = 0; dan minimum lokal di x = 1 dengan f(1) = 4.
• Fungsi f cekung ke bawah pada selang (-∞,0) dan cekung ke atas pada selang (0,∞).
• Fungsi f tidak mempunyai titiik belok karena tidak terdefinisi untuk x = 0,
4.1 Titik Ekstrim, Titik Belok, Asimtot, dan Grafik Fungsi
Ekstirm Mutlak dan Ekstrim Lokal kita mulai pasal ini dengan mendefinisikan ekstrim mutlak dan ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diketahui pada suatu selang.
Definisi 4.1 Misalkan fungsi f kontinu pada selang I yang memuat titik c.
• Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai maksimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.
• Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di c jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai mimimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik mimimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.
• Fungsi f dikatakan mencapi maksimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai maksimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f pada selang I.
• Fungsi f dikatakan mencapi minimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai minimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f pada selang I.
Catatan: maksimum dan minimum daru suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.
Turunan di Titik Ekstrim Lokal
Pada suatu fungsi yang terdeferensialkan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol. Berikut ini adalah teorema tentang turunan di titik ekstrim lokal beserta pembuktiannya.
Contoh
tentukan titik kritis dari f(x)=2x2 + 4x ; pada selang tertutup I = [-2,1]
jawab: f'(x)=0
f'(x) = 4x + 4 = 0
x = 1
berarti titi kritisnya yaitu:
[-2, 1,]
Teorema 4.2 Turunan di titik ekstrim lokal
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapai ekstrim lokal di c dan fungsi f terdiferensialkan di c, maka f’(c) = 0.
Bukti: kita buktikan untuk kasus maksimum lokal saja, kasus minimum lokal serupa. Karena fungsi f mencapai maksimum lokal di c, maka di sekitar c belkau F(c) ≥ f(x), sehingga f(x) – f(c) ≤ 0. Karena fungsi f terdiferensialkan di c, maka kita mempunyai
f’(c) = f-‘(c) = QUOTE dan f’(c) = f+‘(c) = QUOTE .
ini mengakibatkan f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0, sehingga kesimpulannya f’(c) = 0.
Catatan: Kebalikan Teorema 1.2 tidak benar lain, cntoh penyangkalan adalah fungsi f(x) = x3. Di sini berlaku f’(0) = 0 tetapi fungsi f tidak mencapi ekstrim di 0.
Contoh
kapan fungsi f(x) = 4x – x2 naik dan turun
jawab: fungsi itu turun ketika f'(x) <>
4 – 2x <>
x > 2
fungsi itu naik ketika f'(x) > 0
4 – 2x > 0
x <2
Cara Mencari Ekstrim Ekstrim Mutlak pada Selang Tertutup
Salah satu fungsi kontinu mengatakan bahwa jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka fungsi f terbatas pada [a,b] (Teorema 2.16). batas atas terkecilnya adalah QUOTE f(x) dan batas bawah terbesarnya QUOTE f(x). kedua batas ini meenjadi nilai maksimum dan minimum mutlak dari fungsi f pada selang tertutup [a,b], yang ditentukan dengan cara berikut.
• Tentukan semua titik kritis dari fungsi f pada selang tertutup [a,b] beserta nilai fungsinya, termasuk kedua titik ujung selangnya.
• Bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi maksimum mutlaknya, dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlaknya.
Contoh :
Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f(x) 3x4 – 4x3 , -1 ≤ x ≤ 2.
Jawab: Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah
f’(x) = 12x3 – 12x2 = 12x2(x – 1)
sehingga titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0 dan di titik ujung selangnya. Ini mengakibatkan titik kritis dari fungsi f tercapai di
x = 0, x = 1, x = -1, dan x = 2
dengan
f(0) = 0, f(1) = -1, f(-1) = 7, dan f(2) = 16
dari keempat nilai fungsi ini, yang terbesar adalah f(2) = 16 dan yang terkecil f(1) = -1. Jadi nilai maksimum mutlak dari fungsi f adalah 16, yang tercapai di x = 2, dan nilai minimum mutlaknya -1, yang tercapai di x = 1.
Uji Turunan Pertama untuk Kemotonan Fungsi
Perhatikan fungsi f(x) = x2, yang monoton turun pada selang (-∞,0) karena x < 0 =""> x2 > 0, dan monoton naik pada selang (0, ∞) karena x > 0 => f(x) = x2 > 0. Turunan pertama dari fungsi f adalah f’(x) = 2x, sehingga kita mempunyai fenomena bahwa fungsi f monoton turun bila f’(x) <> 0. Fenomena ini sejalan dengan arti geometri turunan sebagai gradien garis singgung pada kurva. Ternyata bahwa fenomena ini berlaku untuk setiap fungsi f yang terdiferensialkan, yang teoremanya sebagai berikut.
Teorema 4.3 (Uji turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang I. jika f’(x) > 0 pada selang I, maka fungsi f monoton naik pada I dan jika f’(x) <>
Bukti: kita buktikan teorema yang pertama saja, yang kedua dibuktikan serupa. Disini kita harus membuktkan fungsi f monoton naik pada I dengan cara memperlihatkan jika u, v pada I dengan u <>
Karena fungsi f terdiferensialkan pada selang I yang memuat selang [u,v], maka menurt TNR terdapat suatu c ª (u,v) sehingga
Pada bentuk ini diketahi f’(c) > 0 dan v - u > 0, yang mengakibatkan f(u) – f(v) > 0. Dari sini diperoleh f(u) <>
Uji turunan pertama untuk menentukan lokasi ekstrim lokal
Dari selang kemonotoan suatu fungsi kontinu dapat ditentukan lokasi ekstrim lokalnya berdasarkan perubahan kemonotonan fungsinya. Perubahan kemonotonan di sekitar titik kritis dari fungsinya dapat ditentukan dengan perubahan tanda dari turunan pertamanya di sekitar titik kritis tersebut. Di sekitar titik ktitis tersebut, perubahan dari monotonnaik ke monoton turun menghasilkan minimum lokal. Lokasi ekstrim lokal diberikan dalam teorema berikut.
Contoh :
cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x)=9x2 – 36x pada (-∞,∞)
jawab:
karena pada selang terbuka (-∞,∞)
maka satu – satunya titik kritis diperoleh dari
f'(x) = 0
18x – 36 = 0
x = 2
maka
f(2) = 9(2)2 -36(2) = -36
Teorema 4.4 (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuak I yang memuat titik kritis c.
• Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) > 0 pada selang (c – r, c) I dan f’(x) <> I, maka fungsi f mencapi maksimum lokal di c.
• Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) <> I dan f’(x) > 0 ada selang (c,c + r) I, maka fungsi f mencapi minimum lokal di c.
4.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Ekstrim lokal beserta jenisnya dari suatu fungsi dapt juaga ditentuka dengan memeriksa tanda turunan kedua di titik kritisnya, teoremanya sebagai berikut.
x = √12
Teorema 4.5 (Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c.
• Jika f’(c) = 0 dan f” (c) <>
• Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di c.
Bukti Kita buktikan yang pertama saja, yang kedua dikerjakan serupa. Dar definisi turunan kedau fungsi f di c dengan menginngat bahwa f’(c) = 0 dan f”(c) <>
Akibatnya, disekitar titik c berlaku, yang menghasilkan
x < c =""> x – c < 0 =""> f’(x) > 0 dan x > c => x – c > 0 => f’(x) <>
Berdasarkan teorema 4.4 (uji turunan untuk ekstrim lokal), fungsi f mencapi maksimaum lokal di c, dan terbuktilah yang diinginkan
4.1.2 Lokasi titik belok
Definisi 4.6
Fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I dikatakan
• Cekung ke atas pada selang I jika fungsi f’ monoton naik pada I,
• Cekung ke bawah pada selang I jika fungsi f’ monoton turun pada I.
Uji turunan kedau untuk kecekungan fungsi
Karena kemonotonan fungsi dapat dikaitkan dengan tanda dari turunan pertamanya, maka kecekungan suatu fungsi pada selang terbuka dapat ditentukan dari tanda turunan keduanya, teoremanya sebagai berikut:
Teorema 4.7 (Uji kedua untuk kecekungan fungsi)
Misalkan fungsi f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka I. jika f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f cekung ke atas pada I, dan jika f”(x) <>
Bukti:
Karena f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f’ monoton naik pada I. berdasarka n dengan definisi 4.6 tentang kecekungan, kondisi ini mengakibatkan fungsi f cekung ke atas pada I. Karena f”(x) <>
Turunan kedau di titik belok
Jika fungsi mempunyai turunan kedua dititik belok, maka nilai turunan keduanya selalu nol. Berikut ini adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.
Teorema 4.8
Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapi titik belok di c, dan f”(c) ada, maka f”(c) = 0.
Bukti: karena fungsi f mencapai titik belok di c, maka besar x = c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f. ini berarti bahwa di sekitar x = c terjadi perubahan kemonotonan dari f’, sehingga ekstrim lokal dari f’ tercapaidi x = c. dari sifat turunan ekstrim lokal, langsung diperoleh f”(c) = (f’)’ = 0, dan terbuktilah yang diinginkan.
Turunan ketiga di titik belok
Dari konsep titik belok dan teorema 4.8 kita mempunyai sifat bahwa jika f” (c) = 0 dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan fungsi f, maka fungsi f mencapi titik belok di x = c. syarat terdapatnya perubahan kecekungan dari f disekitar c dapat diganti oleh f”’ (c), asalkan fungsi f mempunyai turubab kedua di sekitar c. berikut adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.
Teorema 4.9
Misalkan fungsi f mempunyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat c dan f”’ (c) ada. Jika f”(c) 0 dan f”’(c) ≠ 0, maka fungsi f mencapi titik belok di c.
Bukti: Karena f”(c) = 0, maka fungsi f mempunyai garis singgung di di x = c. dari definisi turunan ketiga di c dengan mengingat f”(c) = di peroleh
Berdasarkan sifat nilai fungsi, kita mempunyai QUOTE pada selang (c - r, c + r) I untuk suatu r > 0. Akibatnya, QUOTE x Є (c – r, c + r) I berlaku
QUOTE , atau QUOTE
Untuk kemungkinan pertam, x < c =""> x – c < 0 =""> f” (x) < 0 =""> f cekung ke bawah dab x > c => x – c > 0 => f”(c) > 0 => f cekung ke atas. Jadi kecekungan fungsi f berubah di sekkitar c. dengan cara yang sama, kemungkina kedau juga mengahasilkab perubahan kecekungan di sekitar c. karena itu fungsi f mencapai titik belok di c, dan terbuktilah yang diinginkan
Grafik suatu fungsi dapat digambarkan berdasarkan informasi tentang selang kemonotonannya, semua titik ekstrim beserta jenisnya, selang kecekungan, semua titik belok, semua asimtot, dan beberapa titik yang diperlukan.
Contoh 4.19 diketahui fungsi QUOTE .
Tentukan selang kemonotonan, semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya, selang kecekungan, dan semua asimtot fungsi f.
Jawab: fungsi f terdefinisi pada R – {0} dan dapat di tulis dalam bentuk
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f adalah
Titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0, yang menghasilkan x =-1 dan x =1, dengan f(-1)=0 dan f(1) = 4. Titik kritis dari fungsi f’ tidak ada karena fungsi f tidak terdefinisi di x = 0.
Kesimpulan:
• Fungsi f monoton naik pada selang (-∞, -1) dan pada selang (1,∞); monoton turun pada selang (-1,0), dan pada selang (0,1).
• Fungsi f mencapai maksimum lokal di c = -1 dengan f(-1) = 0; dan minimum lokal di x = 1 dengan f(1) = 4.
• Fungsi f cekung ke bawah pada selang (-∞,0) dan cekung ke atas pada selang (0,∞).
• Fungsi f tidak mempunyai titiik belok karena tidak terdefinisi untuk x = 0,
Langganan:
Postingan (Atom)