INTEGRAL

ANTI TURUNAN (Integral Tak-tentu)

Anti pendiferensialan (anti penurunan) adalah kebalikan dari pendiferensialan (penurunan).
Definisi:
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’ (x) = f(x) untuk semua xdalm I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’ (x) hanya perlu berupa turunan satu sisi ).

NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN

karena kita telah memakai lambing Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi,
Ax (x2) = 1/3x3 + C
Ini adalah notasi yang di gunakan oleh beberapa penulis, dan memang dipakai dalam buku ini npada terbitan-terbitan yang sebelumnya. TEtapi, notasi lenbniz yang semula semakin lama makin popular, karenanya kita memilih untuk mengikutinya. Ketimbang… leinbniz menggunakan … dx lambang ia menuliskan

∫ x2 dx = 1/3x3 + C
Leibniz mempunyai alasan untuk pemakaian memanjang S, ∫ dan juga dx tetapi alasan ini belum masuk akal sampai nanti untuk saat ini, cukup bayangkan ∫….dx sebagai menunjukan anti turunan terhadap x, sama seperti halnya memnunjukan turunan terhadap x, perhatikan bahwa Dx ∫ f(x) dx = f(x)

Teorema A:
(Aturan Pangkat) jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali – 1, maka ;
∫ xr dx = xr+1 + C
r + 1

Teorema B
∫ sin x dx = - cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
Bukti ringkasnya, ingat bahwa Dx (-cos x ) = sin x dan Dx (sin x ) = cos x
Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cara penulisan (notasi). dengan mengikuti Leinbniz, kita sering kali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambing….. disebut tanda integral dan… disebutintegran. Jadi, kitya mengintegralkan integrand an karena itu menadapatkan integral atk taentu. Kemungkinan Leinbniz memakai kata sifat tak tentu sebagai pengingat bahwa integral tek tentu selalu mencakup sebarang konstanta.

INTERGAL TAK-TENTU ADALAH LINEAR

bahwa Dx adalah suatu operator linear. Ini berarti dua hal.
1. Dx [ k f(x) ] = k Dx f(x)
2. Dx [ f(x) + G(x) ]= Dx f(x) + Dx g(x)
Dari dua sifat ini, sifat ketiga mengikuti secara otomatis.
3. Dx [ f(x) – g(x) ] = Dx f(x) – Dx g( x)
Apa yang benar untuk anti turunan adalah benar juga untuk integral tak tentu (anti turunan).

Teorema C

(Kelinearan dari ∫ ….dx ). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan ( integral tak tentu ) dan andaikan k suatu konstanta maka:
∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?
∫ [ f(x) – g(x) ] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx

Teorema D
( Aturan Pangkat yang diperumum ) Andaikan g suatu fungsi yng dapat diferensialkan dan r suatu bilanagan rasional yang bukan – 1 maka
∫ [ g(x) ] r g’(x) dx = [ g(x) ] r+1 + C

PENGANTAR UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL

dalam pasal sebelumnya, tugas kita adalah mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f Untuk memperoleh suatu fungsi baru F kita tuliskan;
∫ f(x) dx = F (x) + C
Dan ini adalah benar, asalkan F’(x) = f(x) Dalam bahasa diferensial ( F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx sehingga kita dapat memandang rumus dalam kotak sebagai
∫ dF(x) = F(x) + C
Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperolaeh fungsi tersebut (tambah suatu konstanta). Ini adalah seni pandangan Lenbniz; dengan memnerimanya akan sangat membantu kita dalam pasal ini.

CONTOH DAN PENYELESAIAN

1. cari anti turunan F(x) + c, yang umum dari f(x)= 9000x2 + 2000x + 1.000.000

jawab: ∫ f(x)dx = (9000x2 + 2000x + 1.000.000)dx
= 3000x3 + 1000x2 + 1.000.000x + C

2. Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (3x + 4x2)/y2. Kemudian cari bilamana x = 0 nilai y = 5.
Penyelesaian :
Persamaan tersebut setara dengan y2dy = (3x + 4x2) dx.
Jadi, ∫ y2dy = ∫ (3x + 4x2) dx
y3/3 + C1 = 3/2x2 + 4/3x3 + C2
y3 = 9/2x2 + 4x3 + (3C2 – 3C1)
y3 = 9/2x2 + 4x3 + C
y = 3√9/2x2 + 4x3 + C
Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat y = 5 bilamana x = 0.
Ini memberikan 5 = 3√C
125 = C
Jadi, y = 3√9/2x2 + 4x3 + 125

3. Cari ∫ (5x + 10)23 dx
Penyelesaian :
Misalkan u = 5x + 10, maka du/dx = 5 atau dx = 1/5 du.
Substitusi 5x + 10 = u dan dx = 1/5 du, maka ∫ (5x + 10)23 dx dapat diubah menjadi ∫ u23 (1/5 du) = 1/5 ∫ u23 du
1/5 ∫ u23 du = 1/5 (1/24 u24) + C
= 1/120 u24 + C
= 1/120 (5x + 10)24 + C
Jadi, ∫ (5x + 10)23 dx = 1/120 (5x + 10)24 + C
4. Cari ∫(x + 1/x)2 dx
Penyelesaian:
∫(x + 1/x)2 dx = ∫ (x2 + 2 + 1/x2)dx
= ∫ x2dx + ∫2dx + ∫ x-2dx
= 1/3 x3 + 2x + (1/-2+1)x-2+1 +C
= 1/3 x3 + 2x + 1/x +C
jadi, ∫(x + 1/x)2 dx = 1/3 x3 + 2x + 1/x +C

5. Cari ∫6 sin7x dx
Penyelesaian :
Andaikan g(x) = sin x; maka g’(x) = cos x.
Jadi, ∫ 6 sin7x cos x dx = 6 ∫ sin7x cos x dx
= 6 ∫ [g(x)]7 g’(x) dx
= 6 {[g(x)8}/8 + C
= 6/8 sin8x + C
= ¾ sin8x + C